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Los padres de Giuseppe Peano trabajaban en una granja y Giuseppe nació en la casa familiar 'Tetto Galant' a unos 5 kms de Cuneo. Asistió al colegio en Spinetta y luego marchó a Cuneo, haciendo a pie los 5 kms de ida y los 5 de vuelta todos los días. Sus padres compraron una casa en Cuneo, pero su padre continuó trabajando en los campos de Tetto Galant con la ayuda del hermano y la hermana de Giuseppe, mientras su madre permanecía en Cuneo con él y su hermano mayor.
La madre de Giuseppe tenía un hermano sacerdote y abogado en Turín, y en 1870 al darse cuenta de que Giuseppe era un joven con mucho talento, le llevó a la ciudad para comenzar la escuela secundaria y prepararle para la universidad. Giuseppe se examinó en Ginnasio Cavour en 1873 y luego se convirtió en alumno del Liceo Cavour donde se graduó en 1876, en ese mismo año entró en la Universidad de Turín.
Entre los profesores de Peano en su primer año universitario se encontraba D'Ovidio que le enseñó geometría analítica y álgebra. En su segundo año aprendió cálculo de Angelo Genocchi y geometría descriptiva de Giuseppe Bruno. Peano continuó el estudio de las matemáticas puras en su tercer año y descubrió que era el único alumno que las había escogido. Los otros habían continuado sus estudios en la Escuela de Ingeniería como el mismo Peano tenía la intención de hacer originalmente. En su tercer año, Francesco Faà di Bruno le enseñó análisis y D'Ovidio geometría. Entre los profesores que tuvo durante su último año estuvo de nuevo D'Ovidio con un curso de geometría avanzada y Francesco Siacci con un curso de mecánica. El 29 de septiembre de 1880 Peano obtuvo su grado de doctor en matemáticas.
Peano se unió al equipo de la Universidad de Turín en 1880, trabajando como ayudante de D'Ovidio. Su primer trabajado publicado data de ese mismo año y fue seguido por otros tres artículos en 1881. Peano fue ayudante de Genocchi entre 1881 y 1882 y en ese último año hizo un descubrimiento muy similar a los que haría en los años siguientes, descubrió un error en una definición estándar. En aquella época Genocchi era bastante anciano y su salud estaba muy debilitada por lo que Peano se ocupó de alguna de sus clases. Peano iba a enseñar a los estudiantes algo sobre el área de una superficie curva cuando se dio cuenta que la definición del libro de Serret, el texto oficial para el curso, era incorrecta. Inmediatamente se lo dijo a Genocchi y se enteró de que éste ya lo sabía. Había sido informado el año anterior por Schwarz, quien parece fue el primero en descubrir el error de Serret.
En 1884 se publicó un texto basado en las clases de Genocchi en Turín. Este libro, Curso de cálculo infinitesimal, aunque basado en los estudios de Genocchi fue editado por Peano y hay que reconocer que el mismo Peano puso mucho en él de su puño y letra. El propio libro lo indica en la primera página:
... publicado con contribuciones del Dr. Giuseppe Peano.
Genocchi de alguna manera no pareció muy contento de que el libro apareciera con su nombre, ya que escribió:
... el texto contiene importantes adiciones, algunas modificaciones y varias anotaciones, que está colocadas en primer lugar. Para que nada que no sea mío se me atribuya, debo declarar que no he tenido ninguna participación en la compilación del libro anteriormente mencionado y que todo se debe a ese sorprendente hombre, el Dr. Giuseppe Peano ...
Peano obtuvo el título de profesor universitario en diciembre de 1884 y continuó enseñando en cursos avanzados, algunos en los que enseñaba Genocchi que no se recuperó lo suficiente como para regresar a la universidad.
En 1886 Peano demostró que si f(x,y) es continua, entonces la ecuación diferencial de primer orden dy/dx = f (x, y) tiene una solución. La existencia de soluciones con hipótesis más fuertes sobre f había sido proporcionada con anterioridad por Cauchy y luego por Lipschitz. Cuatro años más tarde Peano mostró que las soluciones no eran únicas, dando como ejemplo la ecuación diferencial dy/dx = 3y2/3, con y(0) = 0.
Además de sus enseñanzas en la Universidad de Turín, Peano comenzó a dar lecciones en la Academia Militar de Turín en 1886. Al año siguiente descubrió y publicó un método para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales usando aproximaciones sucesivas. Sin embargo Emile Picard había descubierto independientemente este método y había dicho que Schwarz había sido el primero en descubrirlo. En 1888 Peano publicó el libro Cálculo geométricoa primera definición de un vector espacial dada en una destacable notación y estilo modernos y, aunque no fue muy apreciada en su tiempo, es una de las mayores aportaciones de Peano.
En 1889 Peano publicó sus famosos axiomas, denominados axiomas de Peano, que definen los números naturales en términos de conjuntos. Se publicó en el texto Arithmetices principia, nova methodo exposita los cuales, de acuerdo con fueron:
... una marca distintiva en la historia de la lógica matemática y en los fundamentos de las matemáticas.
El texto fue escrito en latín y nadie ha sido capaz de proporcionar el motivo excepto que:
... parece ser un acto de puro romanticismo, quizás el único gesto romántico en toda su carrera científica.
Genocchi murió en 1889 y Peano esperaba ocupar su cátedra. Escribió a Casorati, a quien creía parte del comité que lo decidiría, sólo para pedirle información y descubrió que había un retraso debido a la dificultad para encontrar suficientes miembros que participasen en dicho comité. Casorati había sido tanteado pero su salud no era buena y no podía cumplir la tarea. Antes de que se le propusiera para el puesto Peano publicó otro asombroso resultado.
Inventó las curvas que llenan el espacio en 1890, éstas son mapeos suprayectivos continuos del intervalo [0,1] sobre el cuadrado unitario. Hilbert, en 1891, describió curvas similares que llenan el espacio. Se creía que esas curvas no existían. Cantor había demostrado que hay una biyección entre el intervalo [0,1] y el cuadrado unitario pero, poco después, Netto había demostrado que tal biyección no podía ser continua. Las curvas que llenan el espacio de Peano no pueden ser por supuesto 1 a 1, de otra forma se contradiría el teorema de Netto. Hausdorff escribió sobre el resultado de Peano en Grundzüge der Mengenlehre en 1914:
Este es uno de los más importantes hechos de la teoría de conjuntos.
En diciembre de 1890 Peano esperaba que la lucha por el puesto de Genocchi hubiera terminado cuando, tras el concurso habitual, recibió el ofrecimiento para el puesto. En 1891 Peano fundó la Rivista di matematica, una publicación dedicada principalmente a la lógica y a los fundamentos de las matemáticas. El primer artículo del primer número es un estudio de diez páginas escrito por Peano resumiendo su trabajo en lógica matemática hasta aquel momento.
Peano poseía una gran destreza para ver qué teoremas eran incorrectos detectando excepciones. Otros no se mostraban tan felices viendo como se les anunciaban los errores, y eso sucedió con un colega. Cuando Corrado Segre envió un artículo a la Rivista di matematica Peano apuntó que algunos de los teoremas en los artículos tenían excepciones. Segre no estaba preparado para corregir los teoremas añadiendo condiciones que indicaran las excepciones, sino que defendió su trabajo diciendo que el momento del descubrimiento era más importante que la formulación estricta. Por supuesto esto iba contra el riguroso acercamiento de Peano a las matemáticas, por lo que éste argumentó:
Pienso que es nuevo en la historia de las matemáticas que los profesionales usen con conocimiento de causa en su investigación proposiciones para las que se conocen excepciones, o para las que no tienen pruebas...
Corrado Segre no fue el único que sufrió por la habilidad de Peano para detectar la falta de rigor. Lo que daba tal claridad de pensamiento a Peano era la precisión de su mente y la utilización de su lógica matemática. Peano apuntó un error en una prueba de Hermann Laurent en 1892 y en el mismo año revisó un libro de Veronese, terminando la revisión con el comentario:
Podríamos continuar enumerando las absurdeces que el autor ha compilado. Pero estos errores, la falta de precisión y rigor en todo el libro le quitan todo su valor.
Alrededor de 1892, Peano se embarcó en un nuevo y ambicioso proyecto, lo llamó el Formulario Matemático. En el número de marzo de 1892 de la revista explicaba su pensamiento:
Podríamos continuar enumerando las absurdeces que el autor ha compilado. Pero estos errores, la falta de precisión y rigor en todo el libro le quitan todo su valor.
Alrededor de 1892, Peano se embarcó en un nuevo y ambicioso proyecto, lo llamó el Formulario Matemático. En el número de marzo de 1892 de la revista explicaba su pensamiento:
Sería de gran utilidad la publicación de colecciones de todos los teoremas conocidos pertenecientes a todas las ramas de las ciencias matemáticas... Tal colección, larga y difícil de explicar en lenguaje ordinario, sería más comprensible empleando la notación de la lógica matemática...
Esta ambiciosa idea marca de muchas formas el final del extraordinario trabajo creativo de Peano. Fue un proyecto saludado con entusiasmo por unos pocos y con poco interés por el resto. Peano intentó convencer a los más cercanos de la importancia del proyecto y con ello consiguió molestarles. Sin embargo, Peano y sus ayudantes más cercanos, incluyendo sus asistentes Pieri y Fano se involucraron muy pronto y de forma muy importante con el proyecto.
Al describir una nueva edición del Formulario Matemático en 1896 Peano escribe:
Cada profesor debería poder adoptar este Formulario como libro de texto, ya que debería contener todos los teoremas y métodos. Su enseñanza debería reducirse al modo de leer las fórmulas y en indicar a los estudiantes los teoremas que desea explicar en el curso.
Cuando se publicó el volumen de cálculo del Formulario, Peano, como había dicho, comenzó a usarlo para sus enseñanzas. Resultó un desastre. Peano, que era un buen profesor cuando comenzó su carrera, se convirtió en inaceptable para sus colegas y estudiantes por el estilo de sus enseñanzas. Uno de sus alumnos, que fue gran admirador de Peano, escribía:
Nosotros los estudiantes sabíamos que esta enseñanza era superior a nuestros conocimientos. Comprendimos que un análisis tan sutil de conceptos, tal crítica minuciosa de las definiciones usada por otros autores, no estaba adaptada para principiantes y no era especialmente útil para estudiantes de ingeniería. No apreciábamos tener que dedicar tiempo y esfuerzo a 'símbolos' que más tarde no utilizaríamos.
La Academia Militar le despidió en 1901 y aunque muchos de sus colegas en la universidad hubieran deseado que su carrera como profesor hubiera acabado en este momento, pero no era posible porque así lo establecía la universidad. Cada profesor marcaba su propia ley en su materia y Peano no estaba preparado para escuchar a sus colegas cuando intentaron rogarle que regresara a su antiguo estilo de enseñanza. El proyecto del Formulario Matemático se terminó en 1908 y debemos admirar lo que consiguió Peano; pero aunque el trabajo contenía todo un acervo de información, éste fue apenas utilizado.
Sin embargo, quizás el mayor triunfo de Peano llegó en 1900. En ese año tuvieron lugar en París dos congresos. El primero fue el Congreso Internacional de Filosofía que comenzó el 1 de agosto. Fue un triunfo para Peano, y Russell, que asistió al evento, escribió en su autobiografía:
El congreso fue el punto de giro de mi vida intelectual, ya que allí conocí a Peano. Ya había oído hablar de él y había leído alguno de sus trabajos, pero no me había tomado la molestia de comprender su notación. En las discusiones del congreso observé que era más preciso que ningún otro y que invariablemente sacaba la mejor parte de cualquier argumentación en la que se embarcaba. Según pasaban los días, decidí que se debía a su lógica matemática. ... Se me hizo claro que su notación proporcionaba un instrumento de análisis lógico que había estado buscando durante años...
El día después de terminar el Congreso filosófico comenzó el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos. Peano se quedó en París para asistir y escuchó la charla de Hilbert escogiendo diez de los 23 problemas que aparecían en su artículo como objetivo para el próximo siglo. Peano estaba particularmente interesado en el segundo problema, que preguntaba si los axiomas de la aritmética podían ser probados consistentemente.
Incluso antes de que el proyecto del Formulario Matemático estuviera completo, Peano estaba preparando otro gran proyecto. En 1903 Peano mostró interés en encontrar un lenguaje universal o internacional y propuso un lenguaje artificial Latino sine flexione basado en el latín pero despojado de toda gramática. Compiló el vocabulario con palabras del inglés, francés, alemán y latín. De hecho, la edición final del Formulario Matemático estaba escrita en Latino sine flexione lo que fue otro motivo para que su trabajo se usara tan poco.
La carrera de Peano está dividida en dos períodos. Hasta 1900 mostró gran originalidad y un importante sentido hacia las materias que serían importantes en el desarrollo de las matemáticas. Sus avances fueron asombrosos y mostró un estilo moderno muy avanzado para su época. Sin embargo, este sentido para lo importante pareció abandonarle, y después de 1900 trabajó con gran entusiasmo en dos proyectos de gran dificultad que eran enormes tareas pero demostraron ser poco importantes en el desarrollo de las matemáticas.
Sobre su personalidad Kennedy escribe en:
... estoy fascinado por su agradable personalidad, su capacidad para atraer discípulos que le dedican toda su vida, su tolerancia hacia las debilidades humanas, su perenne optimismo. ... Peano no debe ser considerado únicamente como un lógico y matemático del siglo XIX, sino que por su originalidad e influencia, podría ser considerado uno de los grandes científicos del siglo pasado.
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