martes, 22 de diciembre de 2009

Tal día como hoy nació Ramanujan, Srinivasa


Matemático hindú nacido el 22 de Diciembre de 1887 en Erode, Tamil Nadu, India, y murió el 26 Abril de 1920 en Kumbakonam, Tamil Nadu, India.  Ideó una forma de calcular el número pi con gran exactitud, de manera que su método forma parte hoy de los algoritmos de cálculo que obtienen millones de decimales del número pi. Nacido dentro de una familia venida a menos, de la casta de los brahamanes. Su padre trabajaba de contable para un pañero en Kumbakonam, por lo que pasó su infancia en esta localidad. Fue a la temprana edad de siete años, cuando se le concedió una beca para estudiar en un colegio público por su reconocidos conocimientos matemáticos. Se dice que en los años que estuvo en la escuela se dedicaba a recitar fórmulas matemáticas a sus compañeros, como por ejemplo algunos de los decimales del número pi.

Srinivasa Ramanujan fue uno de los genios matemáticos más grandes de la India. Hizo contribuciones sustanciales a la teoría analítica de los números, y trabajó en las funciones elípticas1, fracciones continuas2 y series infinitas.
Ramanujan nació en la casa de su abuela en Erode, una pequeña villa a unos 400 km al suroeste de Madrás. Cuando Ramanujan tenía un año de edad, su madre lo llevó a la ciudad de Kumbakonam, a unos 160 km más cerca de Madrás. Su padre trabajaba en Kumbakonam como empleado en una tienda de comercio de telas. En diciembre de 1889 contrajo viruela. Cuando tenía casi cinco años, Ramanujan ingresó a la escuela primaria en Kumbakonam, aunque concurriría a varias escuelas primarias distintas antes de entrar a la Secundaria Town en esa misma ciudad, en enero de 1898. En la Secundaria Town, Ramanujan se desempeñó bien en todas sus asignaturas y demostró ser un erudito muy capaz. En 1900 comenzó a trabajar por su cuenta en matemática, en las series geométrica y aritmética. En 1902 se le enseñó a resolver ecuaciones cúbicas3 y comenzó a buscar su propio método para resolver las ecuaciones de cuarto grado4. Al año siguiente, sin saber que las ecuaciones de quinto grado5 no se pueden resolver por el método de las raíces6, trató de resolverlas y, por supuesto, falló. 
En la escuela secundaria Ramanujan conoció el libro de matemáticas de G. S. Carr llamado Sinopsis de los resultados elementales en matemática pura. Este libro, escrito de forma muy concisa, le dio la posibilidad a Ramanujan de aprender matemáticas por su cuenta, pero el estilo del texto tendría un efecto desafortunado en la forma en que más tarde Ramanujan escribiría matemática, ya que le proporcionó el único modelo que conoció de argumentos matemáticos escritos. El libro contenía teoremas, fórmulas y demostraciones pequeñas. También contenía un índice de divulgaciones de matemática pura que habían sido publicadas por el European Journals of Learned Societies durante la primera mitad del siglo diecinueve. El libro, publicado en 1856, era obviamente obsoleto para el momento en que Ramanujan comenzó utilizarlo. 
Hacia 1904, Ramanujan comenzó a dedicarse a la investigación de forma intensiva. Investigó la serie ∑ (1/n), y calculó la constante de Euler con 15 decimales. Luego comenzó a estudiar los números de Bernoulli7, aunque éste fue un descubrimiento totalmente independiente. 
En virtud de su buen trabajo escolar, Ramanujan obtuvo una beca para la Universidad Estatal de Kumbakonam, a la cual ingresó en 1904. Sin embargo, al año siguiente su beca no fue renovada porque él dedicaba cada vez más tiempo a las matemáticas, descuidando las otras asignaturas. Sin dinero, se encontró rápidamente en dificultades y, sin decirle nada a sus padres, huyó a la ciudad de Vizagapatnam a unos 650 km al norte de Madrás. De esta forma continuó con su trabajo matemático, estudiando la serie hipergeométrica8 e investigando las relaciones entre las integrales y las series. Descubriría luego que había estado estudiando las funciones elípticas. En 1906 Ramanujan fue a Madrás donde ingresó en el Colegio de Pachaiyappa. Su objetivo era aprobar el examen de Primeras Artes que le permitiría ser admitido en la Universidad de Madrás. Tomó lecciones en el Colegio de Pachaiyappa, pero se enfermó luego de tres meses de estudio. Tomó el examen luego de haber abandonado el curso. Aprobó matemática, pero ninguna de las otras asignaturas y por tanto no aprobó el examen, lo que significó que no podría ingresar en la Universidad de Madrás. En los años subsiguientes, trabajó en matemática desarrollando sus propias ideas sin ningún tipo de ayuda y sin conocer los tópicos de investigación corrientes de aquel entonces, más que los que le proveía el libro de Carr. 
 

 
Continuó con sus trabajos matemáticos, estudiando las fracciones continuas y las series divergentes durante 1908. En esa etapa, nuevamente se enfermó de gravedad, y sufrió una operación en Abril de 1909, de la cual le tomaría mucho tiempo recuperarse. Se casó el 14 de Julio de 1909 cuando su madre arregló su matrimonio con una niña de diez años, Janaki Ammal. Sin embargo, Ramanujan no viviría con su esposa hasta que ella llegase a los doce años de edad. 
Ramanujan continuó desarrollando sus ideas matemáticas y comenzó a proponer y resolver problemas en el Diario de la Sociedad Matemática India. Desarrolló relaciones entre las ecuaciones elípticas modulares en 1910. Ganó finalmente reconocimiento por su trabajo luego de la publicación en dicho diario de una investigación brillante sobre los números de Bernoulli, en 1910. A pesar de su falta de educación universitaria, se estaba volviendo muy conocido en el área de Madrás como un genio matemático.
En 1911 Ramanujan se acercó al fundador de la Sociedad Matemática India para pedirle trabajo. Luego de esto, se le asignó su primera labor, un puesto temporario en la Oficina del Contador General, en Madrás. Se sugiere que allí fue donde conoció a Ramachandra Rao, quien se desempeñaba como Cobrador en Nellore. Ramachandra Rao era miembro fundador de la Sociedad Matemática India, y había ayudado a comenzar la biblioteca matemática. Escribe en [30]:
Una figura baja y grosera, fuerte, sin afeitar, no del todo limpia, con un rasgo sobresaliente -ojos brillantes-, entró con un cuaderno raído bajo su brazo. Era miserablemente pobre. … Abrió su libro y comenzó a explicar algunos de sus descubrimientos. Supe casi inmediatamente que había algo fuera de lugar, pero mi conocimiento no me permitía juzgar si lo que decía tenía sentido o no. ... Le pregunté qué quería. Dijo que quería dinero, una miseria, para poder vivir y así poder continuar con sus investigaciones.
Ramachandra Rao le dijo que regresara a Madrás, y trató, sin éxito, conseguir una beca para Ramanujan. En 1912 Ramanujan se presentó para el puesto de empleado en la sección contable del Madrás Port Trust. En su carta de presentación, escribió [3]:
He aprobado el Examen de Matriculación y estudiado para el examen de Primeras Artes pero no pude continuar mis estudios debido a varias circunstancias desafortunadas. Sin embargo, he dedicado todo mi tiempo a las Matemáticas y a su desarrollo.
A pesar del hecho de no poseer educación universitaria, Ramanujan era claramente bien conocido por los matemáticos de la universidad en Madrás ya que, en su carta de presentación, incluyó una referencia de E. W. Middlemast, quien era Profesor de Matemática en el Presidency College en Madrás. Middlemast, graduado del St. John College, en Cambridge, escribió [3]:
Recomiendo fuertemente a este candidato. Es un joven con una capacidad excepcional para las matemáticas y especialmente para los trabajos relacionados con números. Posee una aptitud natural para la computación y es muy rápido al trabajar con cifras

 
En virtud de esta recomendación, Ramanujan obtuvo el puesto de empleado y comenzó sus labores el primero de Marzo de 1912. Tuvo la suerte de poseer una gran cantidad de compañeros de trabajo con entrenamiento matemático. De hecho, el Director de Contabilidad del Madras Port Trust, S. N. Aiyar, era matemático, y había publicado una investigación, Sobre la distribución de los primos, en 1913, basado en el trabajo de Ramanujan. El profesor de ingeniería civil del Colegio de Ingeniería de Madrás, C.L.T. Griffith, también se mostró interesado en las habilidades de Ramanujan y, habiendo sido educado en la Universidad de Londres, conocía al profesor de matemáticas de dicha universidad, M. J. M. Hill. Le escribió a Hill el 12 de Noviembre de 1912, enviándole algunos de los trabajos de Ramanujan, y una copia de su investigación de 1911 sobre los números de Bernoulli.
Hill le respondió de forma alentadora, pero señaló que no había podido entender los resultados de Ramanujan sobre las series divergentes. Le recomendaba que leyera la Teoría de las series infinitas, de Bromwich, lo que no fue del agrado de Ramanujan. Él mismo le escribió a E. W. Hobson y a H. F. Baker tratando de interesarlos en sus resultados, pero ninguno le contestó. En enero de 1913 Ramanujan le escribió a G H Hardy, ya que había visto una copia de su libro de 1910, Órdenes del infinito. En su carta a Hardy, Ramanujan se presenta a sí mismo y a su trabajo [10]:
No he tenido educación universitaria, pero he asistido a un curso ordinario escolar. Luego de abandonar la escuela he empleado mi tiempo libre para trabajar en matemáticas. No he asistido a un curso regular convencional como el que se sigue en las universidades, si no que estoy abriendo mi propio camino. He hecho una investigación especial sobre series divergentes en general, y los resultados a los cuales llegué han sido catalogados por los matemáticos locales como 'alarmantes'.
Hardy, junto con Littlewood, estudiaron la larga lista de teoremas sin comprobar que Ramanujan incluyó en su carta. El 8 de Febrero respondió su carta [3], la misma comenzaba así:
Me ha interesado extremadamente su carta y los teoremas que plantea. Usted sin embargo entenderá que, antes de poder juzgar apropiadamente el valor de lo que ha hecho, es esencial que vea pruebas de algunas de sus aseveraciones. Sus resultados, según mi parecer, se ubican en aproximadamente tres clases:
  1. Hay un número de resultados ya conocidos, o fácilmente deducibles de teoremas conocidos;
  2. Hay resultados que, por lo que conozco, son nuevos e interesantes, pero interesantes más por su curiosidad o aparente dificultad que por su importancia;
  3. Hay resultados que parecen ser nuevos e importantes...
Ramanujan estaba encantado con la respuesta de Hardy, y le volvió a escribir diciendo [8]:
He encontrado en usted un amigo que ve mi labor con simpatía. ... Ya soy un hombre medio muerto de hambre. Para preservar mi cerebro necesito comida, y esta es mi prioridad. Cualquier carta amable de usted me ayudará a obtener una beca, ya sea de una universidad o del gobierno.
De hecho, la Universidad de Madrás le concedió a Ramanujan una beca por dos años en Mayo de 1913 y, en 1914, Hardy lo llevó al Trinity College, en Cambridge, para comenzar una colaboración extraordinaria. Acordar esto no era un asunto fácil. Ramanujan era un Brahmán ortodoxo, y por tanto un vegetariano estricto. Su religión le habría impedido viajar, pero esta dificultad fue superada, en parte por el trabajo de E. H. Neville que era colega de Hardy en el Colegio Trinity y que conoció a Ramanujan durante una conferencia en India.
Ramanujan partió en barco de India el 17 de Marzo de 1914. Fue un viaje calmo, excepto por tres días en los cuales Ramanujan sufrió de mareos. Llegó a Londres el 14 de Abril de 1914 y se encontró con Neville. Luego de cuatro días en Londres, fueron a Cambridge y Ramanujan pasó un par de semanas en el hogar de Neville, antes de mudarse al Trinity College, el 30 de Abril. Sin embargo, desde un principio tuvo problemas con su dieta. Obtener artículos alimenticios especiales se volvió muy complicado por el inicio de la Primera Guerra Mundial, y no pasó mucho tiempo antes que Ramanujan tuviera problemas de salud.
Desde un principio, la colaboración de Ramanujan con Hardy condujo a importantes resultados. Sin embargo, Hardy no estaba seguro de cómo enfrentar el problema de la falta de educación formal de Ramanujan. Escribió [1]:
¿Qué se podía hacer sobre el modo de enseñarle matemáticas modernas? Las limitaciones de su conocimiento eran tan alarmantes como profundas.
Se le pidió a Littlewood que le enseñara a Ramanujan rigurosos métodos matemáticos. De todas formas, el comentó ([31]):
... era extremadamente difícil porque cada vez que se mencionaba algún asunto que se pensaba que Ramanujan necesitaba saber, él respondía con una avalancha de ideas originales que hacían casi imposible para Littlewood el persistir en la intención original.
Pronto Littlewood sería llamado a enlistarse en el ejército para la guerra, pero Hardy se quedó en Cambridge para trabajar con Ramanujan. Ya en su primer invierno en Inglaterra, Ramanujan se enfermó y escribió en Marzo de 1915 que había enfermado debido al clima invernal, y no pudo publicar nada por cinco meses. Se tomó la decisión de publicar el trabajo que realizó en Inglaterra, ya que los resultados que había obtenido en la India, que había transmitido a Hardy, no serían publicados hasta que la guerra finalizara.
El 16 de Marzo de 1916 Ramanujan se graduó de Cambridge como Licenciado en Ciencias por Investigación (que desde 1920 pasó a la categoría de Doctorado). Se le permitió matricularse en Junio de 1914 a pesar de no poseer las calificaciones apropiadas. La disertación de Ramanujan fue sobre Números altamente compuestos y consistía en siete investigaciones publicadas en Inglaterra.
Ramanujan se enfermó seriamente en 1917 y sus doctores temieron que muriera. Mejoró un poco para Septiembre, pero pasó la mayor parte de su tiempo en varias clínicas para ancianos. En febrero de 1918 Hardy escribió ([3]):
Batty Shaw descubrió lo que otros doctores no sabían: Ramanujan se había sometido a una operación hacía cuatro años. Su peor teoría era que había sido para remover un tumor maligno, mal diagnosticado. En vista que Ramanujan no ha empeorado en los últimos seis meses, ahora ha abandonado esta hipótesis, la cual los otros doctores nunca apoyaron. La teoría provisoria aceptada es la de un tubérculo, ya que la idea original de una úlcera gástrica fue descartada. ... Como todos los Indios, él es fatalista, y es muy difícil lograr que se cuide a sí mismo.
En febrero de 1918, Ramanujan fue elegido miembro de la Sociedad Filosófica de Cambridge, y tres días más tarde, su nombre apareció en la lista de candidatos para ser elegidos miembros de la Real Sociedad de Londres, el mayor honor que recibiría. Había sido propuesto por un impresionante grupo de matemáticos, a saber, Hardy, MacMahon, Grace, Larmor, Bromwich, Hobson, Baker, Littlewood, Nicholson, Young, Whittaker, Forsyth y Whitehead. Su elección como miembro de la Real Sociedad fue confirmada el 2 de Mayo de 1918. Luego, el 10 de Octubre de ese mismo año, fue elegido miembro del Trinity College de Cambridge, con una membresía por seis años.
Los honores que le fueron otorgados parecieron ayudar a mejorar un poco la salud de Ramanujan, y así reforzó sus esfuerzos para producir matemática. Para fines de Noviembre de 1918, la salud de Ramanujan había mejorado enormemente. Hardy escribió en una carta [3]:
Pienso que ahora podemos esperar que haya dado un buen paso y que esté en camino hacia una verdadera recuperación. Su temperatura ha dejado de ser irregular y ha ganado más de seis kilos de peso. ... Nunca hubo ningún signo de disminución en sus talentos matemáticos. Naturalmente, ha producido menos durante su enfermedad, pero la calidad ha sido la misma. ...
Volverá a la India con una posición científica y una reputación como ningún otro Indio ha poseído antes y estoy seguro que su país va a reconocerlo como el genio que es. Su natural simpleza y modestia nunca se vio afectada en lo más mínimo por el éxito, de hecho, lo único que se quiere es que él se de cuenta que es realmente un éxito.

 
Ramanujan volvió en barco a la India el 27 de Febrero de 1919, llegando el 13 de Marzo. Sin embargo su salud era muy pobre y, a pesar del tratamiento médico, falleció allí el año siguiente.
Las cartas que Ramanujan le escribió a Hardy en 1913 contenían muchos resultados fascinantes. Trabajó en las series de Riemann, las integrales elípticas, las series hipergeométricas, y las ecuaciones funcionales de la función zeta9. Por otro lado, tenía solo una vaga idea de qué constituye una prueba matemática. A pesar de muchos resultados brillantes, algunos de sus teoremas de números primos10 eran completamente incorrectos.
Ramanujan descubrió independientemente resultados de Gauss, Kummer y otros sobre series hipergeométricas. Su propio trabajo en sumas parciales y productos de dichas series han conducido a importantes desarrollos en ese tema. Quizás su trabajo más famoso haya sido en el número p(n) de particiones de un entero n en sumandos. MacMahon había hecho tablas de valores de p(n) para pequeños números n, y Ramanujan usó estos datos numéricos para conjeturar algunas propiedades notables, algunas de las cuales demostró usando funciones elípticas. Otras sólo fueron probadas luego de su muerte.
En una investigación conjunta con Hardy, Ramanujan dio una fórmula asintótica para p(n). Poseía la interesante propiedad de dar el valor correcto de p(n), y esto fue más tarde demostrado por Rademacher.
Ramanujan dejó un cierto número de cuadernos de notas sin publicar, llenos de teoremas que los matemáticos continuarían estudiando. G N Watson, Profesor Masón de Matemáticas Puras en Birmingham desde 1918 a 1951, publicó 14 investigaciones bajo el título general Teoremas establecidos por Ramanujan y en total publicó cerca de 30 investigaciones inspiradas en el trabajo del Indio. Hardy le entregó a Watson una gran cantidad de manuscritos de Ramanujan que él poseía, escritos antes de 1914 y algunos durante el último año de Ramanujan en la India, antes de su muerte.

Glosario
  1. Una función elíptica es una función analítica que va de C a C tal que, para dos valores independiente del número complejo w, las funciones f(w) y f(w + z) son iguales. Una función elíptica también es la inversa de las integrales elípticas y que tienen la forma ∫(dz/R(z)) donde R es un polinomio de grado 3 o 4.
  2. La expansión en fracciones continuas de un número r es una expresión que tiene la forma:



    Si r es un número racional, esta expansión termina.
  3. Una ecuación cúbica es una ecuación cuyo término más alto es de grado 3; la forma general se escribe: ax3 + bx2 + cx + d = 0.
  4. Una ecuación cuártica, o de cuarto grado, es una ecuación cuyo término más alto es de grado 4; la forma general se escribe: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0.
  5. Una ecuación de quinto grado, es una ecuación cuyo término más alto es de grado 5; la forma general se escribe: ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.
  6. La palabra radical significa raíz así que un radical es la raíz enésima de un número. Resolver una ecuación polinomial por radicales consiste en encontrar una fórmula para sus raíces en términos de los coeficientes de tal manera que la fórmula solamente involucre las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y obtención de raíces.
  7. Los números de Bernoulli fueron definidos por Jacob Bernoulli en conexión con la evaluación de sumas que tienen la forma ∑ik. La secuencia B0, B1, B2, ... puede ser generada usando la fórmula x/(ex - 1) = ∑(Bnxn/n!)
    aunque se usan distintas notaciones para ellos. Algunos de los primeros son: B0 = 1, B11/2, B2 = -1/6, B4 = -1/30, B6 = 1/42, ... Aparecen en áreas muy diversas de las matemáticas incluyendo las expansiones en serie de tan(x), el Último teorema de Fermat, etc.
    = -
  8. La función hipergeométrica introducida por Gauss, es la suma de las series hipergeométricas:



    . Es la solución de la ecuación hipergeométrica



    . Muchas funciones comunes pueden escribirse como funciones hipergeométricas.
  9. La función zeta de Riemann es la suma de las series infinitas ζ(s) = ∑(1/ns) pensada como una serie real o una compleja.
  10. Un número entero > 1 es primo si es divisible solamente por sí mismo y la unidad (1). Al número 1 no se le considera primo. Todo entero positivo puede escribirse como un producto de primos de manera única.


Bibliografía
    1. Biografía del Diccionario de Biografías Científicas, Nueva York 1970-1990
    2. Biografía en Encyclopaedia Britannica.
    3. B C Berndt y R A Rankin, Ramanujan: cartas y comentarios, Providence, Rhode Island, 1995
    4. S Ramanujan, Cartas completas, Cambridge, 1927
    5. P K Srinivasan, Ramanujan : Una inspiración, 2 volúmenes, Madrás, 1968
    6. R Ramachandra Rao, En memoria de S Ramanujan, B.A., F.R.S., Diario de la Indian Mathematical Soc. 12 (1920), 87-90.
    7. E Shils, Reflexiones sobre la tradición, centro y periferia y la validez universal de las ciencias: el significado de la vida de S Ramanujan, Minerva 29 (1991), 393-41
     
    Este Artículo está extraído de
MacTutor History of Mathematics Archive